【計(jì)算題】

考慮一個(gè)全同原子組成的平面方格子，正方形的邊長(zhǎng)為a，每個(gè)原子的質(zhì)量為M，最近鄰原子的力常數(shù)為β。用u_l，m記第l列，第m行的原子垂直于格點(diǎn)平面的位移。
（1）證明運(yùn)動(dòng)方程為：

（2）設(shè)解的形式為
，
證明色散關(guān)系為
。
（3）證明獨(dú)立解存在的區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為2π/a的正方形區(qū)域的正方形，分別畫出q=q_x，q_y=0，和q_x=q_y時(shí)的ω（q）圖。
（4）對(duì)于長(zhǎng)波長(zhǎng)極限，qa<<1時(shí)，證明

（5）在第一布里淵區(qū)畫出等ω線，并標(biāo)出ω的極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)和鞍點(diǎn)。